【理論】平成29年 問9｜ひずみ波交流電流による抵抗の平均電力の求め方に関する計算問題
抵抗 \( R = 5 \ \Omega \) に，\( i = 6\sin \omega t + 2\sin 3\omega t \) [A] の電流が流れた。
このとき，抵抗 \( R = 5 \ \Omega \) で消費される平均電力 \( P \) の値 \(\left[ \mathrm{W} \right]\) として，最も近いものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。
ただし，\( \omega \) は角周波数 \(\left[ \mathrm{rad/s} \right]\)，\( t \) は時刻 \(\left[ \mathrm{s} \right]\) とする。
合格への方程式
正弦波交流の基礎
正弦波交流は、電気回路において最も基本的な交流波形です。時間に対して正弦関数で変化する電圧や電流のことを指します。
正弦波交流の表現方法
正弦波交流は以下の数式で表現されます：
\[ i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \; [\mathrm{A}] \]
ここで：
\(I_m\)：最大値（振幅）\([\mathrm{A}]\)
\(\omega\)：角周波数\([\mathrm{rad/s}]\)（\(\omega = 2\pi f\)、\(f\)は周波数\([\mathrm{Hz}]\)）
\(t\)：時刻\([\mathrm{s}]\)
\(\phi\)：位相角\([\mathrm{rad}]\)
実効値の概念
交流の実効値（RMS: Root Mean Square）は、同じ抵抗に流れた場合に等しい電力を発生させる直流の値として定義されます。
正弦波の場合、実効値\(I\)と最大値\(I_m\)の関係は：
\[ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m \; [\mathrm{A}] \]
例題：正弦波交流の電力計算
正弦波電流\(i(t) = 10\sin(100\pi t) \; [\mathrm{A}]\)が\(R = 5 \; \Omega\)の抵抗に流れる場合の平均電力を求めよ。
\[ \begin{aligned} I &= \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07 \; [\mathrm{A}] \\[10pt] P &= I^2 R = (7.07)^2 \times 5 = 250 \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
または、直接計算すると：
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) R \, dt \\[10pt] &= \frac{1}{T} \int_0^T (10\sin(100\pi t))^2 \times 5 \, dt \\[10pt] &= \frac{5 \times 100}{T} \int_0^T \sin^2(100\pi t) \, dt \\[10pt] &= 5 \times 100 \times \frac{1}{2} = 250 \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
瞬時電力と平均電力
瞬時電力\(p(t)\)は電圧と電流の積で表されます：
\[ p(t) = v(t) \times i(t) \; [\mathrm{W}] \]
抵抗\(R\)に正弦波電流\(i(t) = I_m \sin(\omega t)\)が流れる場合：
\[ \begin{aligned} p(t) &= i^2(t) R \\[10pt] &= I_m^2 \sin^2(\omega t) R \\[10pt] &= I_m^2 R \times \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} \\[10pt] &= \frac{I_m^2 R}{2} - \frac{I_m^2 R}{2}\cos(2\omega t) \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
平均電力\(P\)は瞬時電力の1周期\(T\)にわたる平均値です：
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1}{T} \int_0^T p(t) \, dt \\[10pt] &= \frac{I_m^2 R}{2} \; [\mathrm{W}] \\[10pt] &= I^2 R \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
ひずみ波交流の表現
※ 第三種電気主任技術者試験の範囲外なので、覚えなくても大丈夫です。
実際の電気回路では、完全な正弦波ではなく、ひずみを含んだ波形（ひずみ波）が現れることがよくあります。これらのひずみ波はフーリエ級数を用いて表現できます。
ひずみ波のフーリエ級数表現
周期的なひずみ波は、基本波（基本周波数成分）と高調波（基本周波数の整数倍の周波数成分）の和として表現できます：
\[ \begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t) \\[10pt] &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\omega t + \phi_n) \end{aligned} \]
ここで：
\(a_0\)：直流成分
\(a_n, b_n\)：第\(n\)高調波の余弦波と正弦波の係数
\(c_n\)：第\(n\)高調波の振幅
\(\phi_n\)：第\(n\)高調波の位相角
ひずみ波の特徴
ひずみ波交流の特徴：
・基本波と高調波の合成波であり、複数の周波数成分を含む
・回路の非線形性や磁気飽和などによって発生
・高調波成分によって波形がひずみ、電力品質に影響を与える
・一般に奇数次高調波が支配的なことが多い（例：3次、5次、7次...）
例：ひずみ波電流の表現
問題文にある電流波形：
\[ i = 6\sin \omega t + 2\sin 3\omega t \; [\mathrm{A}] \]
これは基本波（第1高調波）と第3高調波の合成波です：
・基本波：\(i_1 = 6\sin \omega t \; [\mathrm{A}]\)（振幅6A、周波数\(\omega\)）
・第3高調波：\(i_3 = 2\sin 3\omega t \; [\mathrm{A}]\)（振幅2A、周波数\(3\omega\)）
注意点
ひずみ波を扱う際の注意点：
・各周波数成分（高調波）は互いに直交するため、電力計算では個別に計算して加算できる
・実効値の計算では、ピタゴラスの定理を用いて各成分の実効値の二乗和の平方根を取る
・高調波成分は基本波と異なる周波数を持つため、回路のインピーダンスが周波数によって変化する場合は各高調波成分に対して個別にインピーダンスを考慮する必要がある
電力計算の基本
交流回路における電力計算の基本概念を解説します。特にひずみ波における電力計算の方法に焦点を当てます。
交流回路の電力の種類
| 電力の種類 | 記号 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 瞬時電力 | \(p(t)\) | W | ある瞬間の電力値 \(p(t) = v(t) \times i(t)\) |
| 平均電力（有効電力） | \(P\) | W | 瞬時電力の1周期平均値 |
| 無効電力 | \(Q\) | var | 電力の振動成分 |
| 皮相電力 | \(S\) | VA | 電圧実効値と電流実効値の積 |
※横スクロールできます
純抵抗回路の電力計算
抵抗\(R\)に電流\(i(t)\)が流れる場合の平均電力\(P\)：
\[ P = \frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) R \, dt = I_{rms}^2 R \; [\mathrm{W}] \]
ここで\(I_{rms}\)は電流の実効値で：
\[ I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) \, dt} \; [\mathrm{A}] \]
ひずみ波の実効値計算
ひずみ波\(i(t) = \sum_{n=1}^{\infty} I_{mn} \sin(n\omega t + \phi_n)\)の実効値は：
\[ I_{rms} = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{I_{mn}}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{mn}^2}{2}} \; [\mathrm{A}] \]
ここで\(I_{mn}\)は第\(n\)高調波の振幅です。
ひずみ波の電力計算の重要ポイント
ひずみ波の電力計算で重要なポイント：
1. 異なる周波数の正弦波成分間の積の平均値は0
2. そのため、異なる高調波間の相互作用による電力はなく、各高調波成分が独立に電力に寄与する
3. 純抵抗負荷の場合、総平均電力は各高調波成分による電力の和となる
例題：ひずみ波の実効値計算
電流\(i = 6\sin \omega t + 2\sin 3\omega t \; [\mathrm{A}]\)の実効値を求めよ。
\[ \begin{aligned} I_{rms} &= \sqrt{\frac{6^2}{2} + \frac{2^2}{2}} \\[10pt] &= \sqrt{18 + 2} \\[10pt] &= \sqrt{20} \\[10pt] &\approx 4.47 \; [\mathrm{A}] \end{aligned} \]
フーリエ級数展開
※ 第三種電気主任技術者試験の範囲外なので、覚えなくても大丈夫です。
フーリエ級数展開は、周期的な波形を正弦波と余弦波の和として表現する数学的手法です。ひずみ波交流の理解と計算に不可欠な概念です。
フーリエ級数の基本形
周期\(T\)の周期関数\(f(t)\)のフーリエ級数展開：
\[ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) \right] \]
係数の計算式：
\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt \\[10pt] a_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) \, dt \\[10pt] b_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) \, dt \end{aligned} \]
電気工学でのフーリエ級数の応用
電気工学におけるフーリエ級数の応用：
・ひずみ波の高調波分析（各周波数成分の振幅と位相を特定）
・電力系統の高調波問題の解析と対策
・回路設計（フィルタ設計など）
・電力品質の評価（高調波歪み率の計算）
高調波による電力
抵抗\(R\)にひずみ波電流\(i(t) = \sum_{n=1}^{\infty} I_{mn} \sin(n\omega t + \phi_n)\)が流れる場合の平均電力：
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) R \, dt \\[10pt] &= R \times \frac{1}{T} \int_0^T \left[ \sum_{n=1}^{\infty} I_{mn} \sin(n\omega t + \phi_n) \right]^2 \, dt \\[10pt] &= R \times \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{mn}^2}{2} \\[10pt] &= R \times \sum_{n=1}^{\infty} I_{n,rms}^2 \end{aligned} \]
ここで\(I_{n,rms}\)は第\(n\)高調波の実効値です。
例題：矩形波のフーリエ級数展開
振幅\(A\)の矩形波のフーリエ級数展開：
\[ f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(n\omega t) \]
これは奇数次の高調波のみを含み、振幅は\(n\)に反比例して減少します。
計算上の注意点
フーリエ級数を用いた電力計算の注意点：
・実際の計算では、有意な大きさを持つ高次高調波までを考慮すれば十分（無限和は不要）
・異なる周波数成分間の積の平均値は0となる（直交性）ことを利用して計算を簡略化できる
・抵抗以外の回路素子（インダクタンス、キャパシタンス）では、各高調波に対するインピーダンスが異なる点に注意
実践的な計算例
この章では、ひずみ波交流が流れる回路の電力計算について、具体的な例題を通して解説します。特に、問題文にあるような「異なる高調波成分を含む電流が抵抗に流れる場合の平均電力計算」に焦点を当てます。
ひずみ波電流による抵抗での電力計算手順
1. ひずみ波をフーリエ級数の形で表現（各高調波成分に分解）
2. 各高調波成分の実効値を計算
3. 各高調波成分による電力を計算（\(P_n = I_{n,rms}^2 R\)）
4. すべての高調波成分による電力を合計して総平均電力を求める
例題1：基本波と第3高調波を含む電流による電力
電流\(i = 6\sin \omega t + 2\sin 3\omega t \; [\mathrm{A}]\)が抵抗\(R = 5 \; \Omega\)に流れる場合の平均電力を求めよう。
\[ \begin{aligned} I_{1,rms} &= \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_{3,rms} &= \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] P_1 &= I_{1,rms}^2 R = (3\sqrt{2})^2 \times 5 = 90 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_3 &= I_{3,rms}^2 R = (\sqrt{2})^2 \times 5 = 10 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_{total} &= P_1 + P_3 = 90 + 10 = 100 \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
例題2：多数の高調波を含むひずみ波電流
\[ \begin{aligned} i &= 10\sin \omega t + 3\sin 3\omega t \\[10pt] &\quad + 2\sin 5\omega t + 1\sin 7\omega t \quad [\mathrm{A}] \\[10pt] R &= 4 \quad [\Omega] \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{1,rms} &= \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_{3,rms} &= \frac{3}{\sqrt{2}} = 1.5\sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_{5,rms} &= \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] I_{7,rms} &= \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5\sqrt{2} \; [\mathrm{A}] \\[10pt] P_1 &= I_{1,rms}^2 R = (5\sqrt{2})^2 \times 4 = 200 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_3 &= I_{3,rms}^2 R = (1.5\sqrt{2})^2 \times 4 = 18 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_5 &= I_{5,rms}^2 R = (\sqrt{2})^2 \times 4 = 8 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_7 &= I_{7,rms}^2 R = (0.5\sqrt{2})^2 \times 4 = 2 \; [\mathrm{W}] \\[10pt] P_{total} &= P_1 + P_3 + P_5 + P_7 = 200 + 18 + 8 + 2 = 228 \; [\mathrm{W}] \end{aligned} \]
別の計算アプローチ
ひずみ波電流による抵抗での電力計算の別のアプローチ：
\[ \begin{aligned} P &= R \times I_{rms}^2 \\[10pt] I_{rms} &= \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} I_{n,rms}^2} \\[10pt] P &= R \times \sum_{n=1}^{\infty} I_{n,rms}^2 \end{aligned} \]
この方法では、まずひずみ波全体の実効値を計算し、その二乗に抵抗値を掛けて平均電力を求めます。結果は上記の方法と同じになります。
🔍 ワンポイントアドバイス： ひずみ波交流の電力計算では、「異なる周波数成分間の積の平均値は0になる」という性質が最も重要です。この性質により、各高調波成分による電力を独立に計算して加算するだけで総平均電力が求まります。第3種電気主任技術者試験では、ひずみ波交流の電力計算問題がよく出題されます。この種の問題では、まず各高調波成分の実効値を計算し、その二乗に抵抗値を掛け
今日はひずみ波を含む回路の平均電力計算について勉強するで！まずひずみ波ってなんやと思う？
はい、先生！ひずみ波とは、純粋な正弦波ではなく、複数の周波数成分が含まれている波形のことだと思います。基本波と高調波が合成されたものですよね。
そうや！よう知ってるなぁ。ひずみ波は基本波と高調波の合成波や。今回の問題では、ひずみ波 \(i\) が基本波 \(i_1\) と第3調波 \(i_3\) で構成されてるんや。それぞれこんな式で表されてるで：
\(i_1 = 6\sin\omega t\)
\(i_3 = 2\sin 3\omega t\)
ここで、\(\omega\) は角周波数やね。まずはこの基本波と第3調波の実効値を求めていこか。実効値の求め方覚えてるか？
はい、先生！正弦波の実効値は、振幅の値を \(\sqrt{2}\) で割ることで求められます。つまり、\(I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\) ですね。ここで \(I_m\) は振幅の値です。
この公式を使って計算してみます：
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{6}{\sqrt{2}} \\ &= 3\sqrt{2} \ \mathrm{[A]} \end{aligned} \]同様に、第3調波の実効値も計算できます：
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{2}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \ \mathrm{[A]} \end{aligned} \]よって、基本波の実効値は \(I_1 = 3\sqrt{2} \ \mathrm{[A]}\)、第3調波の実効値は \(I_3 = \sqrt{2} \ \mathrm{[A]}\) となります。
ええやん！バッチリやな！基本波と第3調波の実効値がわかったところで、次は平均電力を求めていくで。回路に抵抗 \(R\) があるとして、平均電力 \(P\) はどう計算するか考えてみ？
はい、先生！抵抗 \(R\) の両端に正弦波電圧が加わる場合、平均電力 \(P\) は実効値の二乗に比例します。つまり \(P = RI^2\) です。
ただし、今回はひずみ波なので、各周波数成分ごとに電力を計算して合計する必要があります。基本波と第3調波の電力の和として：
\[ \begin{aligned} P &= RI_1^2 + RI_3^2 \\ &= R \cdot (3\sqrt{2})^2 + R \cdot (\sqrt{2})^2 \end{aligned} \]この式に抵抗値を代入すれば、全体の平均電力が求められます。
そうそう！異なる周波数の成分同士は打ち消し合うから、最終的に各周波数成分の電力の和として計算できるんや。今回の問題では抵抗 \(R = 5 \ \Omega\) やから、これを使って平均電力を計算してみよか？
はい、先生！抵抗値 \(R = 5 \ \Omega\) を使って計算します。
\[ \begin{aligned} P &= RI_1^2 + RI_3^2 \\ &= 5 \times (3\sqrt{2})^2 + 5 \times (\sqrt{2})^2 \\ &= 5 \times 9 \times 2 + 5 \times 2 \\ &= 5 \times 18 + 10 \\ &= 90 + 10 \\ &= 100 \ \mathrm{[W]} \end{aligned} \]よって、この回路で消費される平均電力は \(P = 100 \ \mathrm{[W]}\) となります。
選択肢の(3)が答えです
完璧や！計算過程もバッチリできてるなぁ。これでひずみ波が含まれる回路の平均電力が \(P = 100 \ \mathrm{[W]}\) と求められたわけや。
整理しておくと、ひずみ波の平均電力を求めるときのポイントは：
1. 各周波数成分（基本波と高調波）ごとに実効値を求める
2. 各周波数成分の電力を計算する（\(P_n = RI_n^2\)）
3. それらの和が全体の平均電力になる
このやり方は交流回路の電力計算の基本やから、しっかり覚えておいてな！高調波成分が多くなっても、同じ考え方で計算できるで。
ありがとうございます、先生！ひずみ波の平均電力計算について理解できました。各周波数成分ごとに実効値を求め、それぞれの電力を計算して足し合わせるという方法ですね。
これは電気主任技術者試験でも重要な考え方だと思いますので、しっかり覚えておきます。異なる周波数成分同士は打ち消し合い、電力に寄与しないという点も重要なポイントですね！
そうや！よう理解できてるなぁ。もう一つ大事なポイントを教えとくで。なんで異なる周波数成分同士は打ち消し合うと思う？
はい、先生！異なる周波数成分同士が打ち消し合う理由は、それらの積の平均値が0になるからだと思います。
例えば、\(i_1 = 6\sin\omega t\) と \(i_3 = 2\sin 3\omega t\) の積を一周期にわたって平均すると、正の部分と負の部分が完全に打ち消し合って0になります。これは異なる周波数の正弦波同士が直交関係にあるためです。
つまり、電力の計算では基本波と第3調波の「クロス項」は考慮しなくてよく、各周波数成分の電力だけを考えれば良いということになりますね。
素晴らしい！完全に理解できてるわ！そのとおり、異なる周波数の正弦波同士は直交関係にあるんや。数学的には、異なる周波数の正弦波の積を一周期で積分すると0になる。これをフーリエ級数の直交性っていうんやけど、この性質のおかげで、複雑なひずみ波の電力計算も簡単にできるようになるんやな。
この知識は第三種電気主任技術者試験の電力や高調波に関する問題でめっちゃ役立つから、しっかり身につけてな！
ありがとうございます、先生！フーリエ級数の直交性という性質が電力計算を簡単にしてくれるんですね。周波数の異なる成分同士は積の平均がゼロになるという性質は、電気回路の解析で非常に役立つことがわかりました。
これからも高調波を含む回路の計算などで活用していきます。貴重な知識をありがとうございました！